Determine a solução de estado estacionário Ψ''(x) para o problema de contorno:

k * (d^2 * u) / (d * x^2) - h * (u - u_0) = (d * u) / (d * t), 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para determinar o estado estacionário   Ψ ' ' ( x ) para o problema de contorno,

k d 2 u d x 2 - h u - u 0 = d u d t ,               0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = f ( x ) ,     0 < x < 1

Lembrando que para derivadas parciais devemos saber que

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

Sendo,

u 0 , t = x 0 . t t = k 1

u L , t = x L . t t = k 2

Passo 2

Sabendo que,

k d 2 u d x 2 - h u - u 0 = d u d t ,               0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = f ( x ) ,     0 < x < 1

Para,

k d 2 u d x 2 - h ( u - u 0 ) = d u d t  

k   Ψ ' ' + r = 0         o u     Ψ ' ' = - r k

  Ψ ' ' x = r k x 2 + r 2 k + u 0 x

u 0 , t = v 0 , t .   Ψ ' ' 0 = u 0

u 1 , t = v ( 1 , t ) . Ψ ' ' 1 = 0

Ficando com,

Ψ ' ' x = u 0 1 - sin ⁡ h   h k x sin ⁡ h h k

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

Ψ ' ' x = u 0 1 - sin ⁡ h   h k x sin ⁡ h h k