Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 1b
Determine a solução geral:
(b)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar :
Trivialmente encontramos as seguintes raízes:
Logo,
Passo 3
Agora, vamos obter :
Sendo a equação original:
Como em temos uma função trigonométrica, é de se esperar que ela apareça também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:
Teremos:
E
Substituindo ambas na equação original:
Relacionando ambos os lado da igualdade:
Então:
Resposta
Portanto, como a solução geral para a EDL é dada pela soma das soluções homogênea e particular, ela assumirá a seguinte forma: