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Determine a solução geral:

(c) (d x)/(d t) + 2 x = (3 + 2 t + 3 t^2) e^t

Passo 1

Perceba que temos uma EDL de 1ºgrau não-homogênea e a solução geral novamente será :

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Na seção 11.1 do livro, vimos que dada uma EDL linear de 1º ordem: (d y)/(d x) +- a y = 0

A solução geral será:

y (x) = C e^(- a x)

Perceba que essa é a solução homogênea, portanto para a EDL dada no enunciado, teremos a seguinte solução geral:

x_h (t) = C_1 e^(- 2 t)

Passo 3

Temos que g (t) = (3 + 2 t + 3 t^2) e^t é uma função exponencial e polinomial, podemos propor então a seguinte solução particular:

x_p (t) = (A t^2 + B t + C) e^t

De onde encontramos:

x_p^' (t) = (2 A t + A t^2 + B + B t + C) e^t

Substituindo na equação original:

(2 A t + A t^2 + B + B t + C) e^t + (2 A t^2 + 2 B t + 2 C) e^t = (3 + 2 t + 3 t^2) e^t

3 A t^2 e^t + (2 A + 3 B) t e^t + (B + 3 C) e^t = (3 + 2 t + 3 t^2) e^t

Relacionando ambos os lados da igualdade:

3 A = 3 -> A = 1

2 A + 3 B = 2 -> B = 0

B + 3 C = 3 -> C = 1

Portanto, a solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = (t^2 + 1) e^t

Resposta

Uma vez que a solução geral é a soma das soluções homogênea e particular, temos:

x (t) = C_1 e^(- 2 t) + (t^2 + 1) e^t

Ver Outros Exercícios desse livro