Determine a solução geral:

(j) (d^4y)/(dx^4) - 3(d^3y)/(dx^3) + (d^2y)/(dx^2) - 3(dy)/(dx) = 0

Passo 1

Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^4 - 3 m^3 + m^2 - 3 m = 0

Podemos reescrever da seguinte forma:

m (m^3 - 3 m^2 + m - 3) = 0

Fica evidente que temos as seguinte possibilidades:

m = 0

Dessa relação podemos encontrar trivialmente que m_1 = 0

m^3 - 3 m^2 + m - 3 = 0

Perceba então que uma das raízes da equação de terceiro grau acima é m_2 = 3 , pois:

(3)^3 - 3 (3^2) + (3) - 3 = 0

Passo 2

Podemos eplicar Briot-Ruffini para encontrar as outras raízes, e então chegaremos a seguinte equação do segundo grau:

m^2 + 1 = 0

Teremos então duas raízes complexas:

m_3 = - i e m_4 = + i

Com a = 0 e b = 1

Passo 3

Portanto, perceba que temos duas raízes reais e duas complexas, para facilitar vamos separá-las em duas etapas:

  1. Reais:
  2. y (x) = C_1 e^(m_1 x) + C_2 e^(m_2 x)

    y (x) = C_1 + C_2 e^(3 x)

  3. Complexas:

y (x) = e^(a x) [C_3 cos (b x) + C_4 sin (b x)]

y (x) = C_3 cos (x) + C_4 sin (x)

A solução geral será dada pela soma das etapas:

y (x) = C_1 + C_2 e^(3 x) + C_3 cos (x) + C_4 sin (x)

Resposta

Concluimos que a solução geral para a EDL assumirá a seguinte forma:

y (x) = C_1 + C_2 e^(3 x) + C_3 cos (x) + C_4 sin (x)

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