Determine a solução geral:
(j)
Passo 1
Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:
Seja então a seguinte equação auxiliar:
Podemos reescrever da seguinte forma:
Fica evidente que temos as seguinte possibilidades:
Dessa relação podemos encontrar trivialmente que
Perceba então que uma das raízes da equação de terceiro grau acima é , pois:
Passo 2
Podemos eplicar Briot-Ruffini para encontrar as outras raízes, e então chegaremos a seguinte equação do segundo grau:
Teremos então duas raízes complexas:
Com
Passo 3
Portanto, perceba que temos duas raízes reais e duas complexas, para facilitar vamos separá-las em duas etapas:
- Reais:
- Complexas:
A solução geral será dada pela soma das etapas:
Resposta
Concluimos que a solução geral para a EDL assumirá a seguinte forma: