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Determine a solução do problema

(d^2 x)/(d t^2) + 9 x = 0 , x (0) = 1 e overset(˙)(x) (0) = - 1

Passo 1

O exercício pede para reolver a EDO homogênea de segunda ordem

x^(' ') + 9 x = 0

Como os coeficientes são constantes, caímos na equação característica

p^2 + 9 = 0

As soluções dessa equação são

p = 0 +- 3 i

Quando as raízes são complexas do tipo p = alpha +- i beta :

x (t) = e^(alpha t) (A cos beta t + B s e n beta t)

Portanto,

x (t) = A cos 3 t + B s e n 3 t

Passo 2

Como x (0) = 1 , temos que

1 = A cos 0 + B s e n 0 => A = 1

Portanto,

x (t) = cos 3 t + B s e n 3 t

Logo,

overset(˙)(x) (t) = - 3 s e n 3 t + 3 B cos 3 t

Como overset(˙)(x) (0) = - 1 :

- 1 = 3 B => B = - (1)/(3)

Portanto,

x (t) = cos 3 t - (1)/(3) s e n 3 t

Resposta

x (t) = cos 3 t - (1)/(3) s e n 3 t

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