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Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

m ) d y d x = y 2 - 2 x 2 ,     y ( 1 ) = 0

Passo 1

Como o próprio enunciado diz, faremos:

y = u x

E, com isso:

d y d x = 1 x 2 ⋅ d u d x x - u

Assim, substituiremos na equação:

d u d x x - u ⋅ 1 x 2 = u 2 x 2 - 2 x 2

Passo 2

Reorganizando a equação, teremos:

d u d x x - u ⋅ 1 x 2 = u 2 - 2 x 2

Assim, poderemos cortar os x 2 dos denominadores, obtendo:

d u d x x - u = u 2 - 2

Reorganizando a equação, temos que:

d u u 2 + u - 2 = d x x

Passo 3

Agora, integraremos a equação: d u u 2 + u - 2 = d x x

Assim, obtendo:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ u - 1 - 1 3 ⋅ ln ⁡ u + 2 + c

Reorganizando, temos:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( u - 1 ) ( u + 2 ) + c

Passo 4

Substituindo u = x y , obtemos:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( x y - 1 ) ( x y + 2 ) + c

Aplicando a condição inicial y 1 = 0 , temos que:

ln ⁡ 1 = 1 3 ⋅ ln ⁡ - 1 2 + c

Ou seja, c = 1 3 ln ⁡ 2

Passo 5

Agora, passando o valor de c para a equação, temos:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( x y - 1 ) ( x y + 2 + 1 3 ⋅ ln ⁡ 2

Reorganizando, temos:

3 ln ⁡ x = ln ⁡ ( x y - 1 ) ( x y + 2 ) + ln ⁡ 2

Usando propriedades logarítmicas:

ln ⁡ x 3 = ln ⁡ 2 ⋅ ( x y - 1 ) ( x y + 2 )

Passo 6

Aplicando exponencial dos dois lados, obtemos:

x 3 = 2 ⋅ ( x y - 1 ) ( x y + 2 )

x y + 2 ⋅ x 3 = 2 ⋅ ( x y - 1 )

Fazendo a distributiva, temos que:

x 4 y + 2 x 3 = 2 x y - 2

Reorganizando a modo de isolar y , temos que:

y = 2 - 2 x 3 x 4 + 2 x

Resposta

A solução da equação é dada por:

y = 2 - 2 x 3 x 4 + 2 x

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