Responde Aí
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Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

b )   y = 1 + y ⋅ y ' 2 ,     y 1 = 2 ,     y ' > 0

Passo 1

Primeiramente, procuraremos uma forma de solucionar esta equação. Vamos descobrir se essa equação é separável.

Neste caso, primeiramente, iremos elevar os dois termos da equação ao quadrado, tendo assim:

y 2 = 1 + y ⋅ y ' 2

Passaremos agora o 1 subtraindo para o outro lado, e, aplicaremos raiz quadrada dos dois lados, tendo:

y 2 - 1 = y ⋅ y '

Denominando y ' = d y d x e passando y dividindo para o outro lado, temos:

y 2 - 1 y = d y d x

Passo 2

Passaremos agora o 1 subtraindo para o outro lado, e, aplicaremos raiz quadrada dos dois lados, tendo:

y 2 - 1 = y ⋅ y '

Passo 3

Denominando y ' = d y d x e passando y dividindo para o outro lado, temos:

y 2 - 1 y = d y d x

Passo 4

Agora, colocaremos as variáveis juntas, assim:

y ⋅ d y y 2 - 1 = 1 ⋅ d x

Integrando dos dois lados, temos:

y 2 - 1 = x + c

Passo 5

Isolando y na equação, teremos:

y 2 - 1 = x + c 2

y 2 = x + c 2 + 1

y = ( x + c 2 + 1

Passo 6

Substituindo o valor dado: y 1 = √ 2 para encontrar c, temos:

2 = 1 + c 2 + 1

2 = 1 + c 2 + 1

1 = 1 + c 2

c = 0

Passo 7

Como o valor de c = 0 , temos que:

y = ( x + 0 2 + 1

Ou seja,

y = x 2 + 1

Resposta

A função solução da equação se dá por:

y = x 2 + 1

Onde x > 0 para que a condição y ' > 0 seja obedecida.

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