Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada

dy/dx = (3*x^2 - y) / (x - 3*y^2) e y(1) = 0

Passo 1

Vamos seguindo para a letra b!!

Vamos reorganizar a equação:

x - 3 y 2 d y = 3 x 2 - y d x

Ou melhor:

3 x 2 - y d x - x - 3 y 2 d y = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d x = 3 x 2 - y

d φ d y = 3 y 2 - x

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função φ = φ ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d φ = 3 x 2 - y . d x

Quando nós integramos:

φ = x 3 - x y

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = ( 3 y 2 - x ) d y

Quando nós integramos:

φ = y 3 - x y

Se é assim:

φ x ,   y = x 3 - x y + y 3

Portanto nós concluímos que a equação 3 x 2 - y d x - x - 3 y 2 d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x 3 - x y + y 3 = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando y 1 = 0 nós podemos substituir:

x = 1     e     y = 0

Substituindo:

φ 1 ,   0 = 1 3 - 1 × 0 + 0 3 = k

Então:

k = 1

Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:

x 3 - x y + y 3 = 1

Como nós queremos o valor de y que permite a derivada acima nós vamos isolá-lo:

y 3 - x y + ( x 3 - 1 ) = 0

Então nós concluímos que a solução de d y d x = 3 x 2 - y x - 3 y 2 para y 1 = 0 será y 3 - x y + ( x 3 - 1 ) = 0 !!

Gostosinha demais de fazer, não foi ??

Resposta

y 3 - x y + ( x 3 - 1 ) = 0

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