Determine para quais valores de m a função ϕ(x) = x^m é uma solução para a equação dada.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Para determinarmos os valores em que a função é solução, precisamos substituir a função na EDO e derivarmos. Após isso, vamos achar uma equação em função de m e só teremos que achar para que valor de m a EDO zera. Boraa!!

Passo 2

A EDO da vez é:

3 x 2 d 2 y d x 2 + 11 x d y d x - 3 y = 0

Substituindo a solução.

x m ' ' + 6 x m ' - 3 x m = 0

Derivando em função de x , encontramos:

3 x 2 m x m - 1 ' + 11 x m x m - 1 - 3 x m = 0

3 x 2 m m - 1 x m - 2 + 11 m x m - 3 x m = 0

x m ( 3 m m - 1 + 11 m - 3 ) = 0

Agora, temos que achar as raízes da função:

3 m m - 1 + 11 m - 3 = 0

3 m 2 + 8 m - 3 = 0

Aqui podemos usar Bhaskara para encontrar as raízes.

r 12 = - 8 ± 64 + 36 6

r 1 = 1 / 3               r 2 = - 3

Então, os valores de m para os quais a função é solução da EDO, são m = 1 / 3 e m = - 3 .

Passo 3

Vamos para a segunda EDO, mesmo esquema:

x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x - 5 y = 0

Substituindo a solução.

x 2 x m ' ' - x x m ' - 5 x m = 0

Derivando em relação a x , encontramos:

x 2 m m - 1 x m - 2 - x m x m - 1 - 5 x m = 0

Simplificando:

m 2 - m - m - 5 = 0

m 2 - 2 m - 5 = 0

Vamos achar as raízes com Bhaskara.

r 12 = - 2 ± 4 + 20 2

r 1 = 1 + 6                 r 2 = 1 - 6

Então, para a segunda EDO os valores são m = 1 + 6 e m = 1 - 6 .

Resposta

  1. m = 1 / 3 e m = - 3 .
  2. m = 1 + 6 e m = 1 - 6 .