Determine para quais valores de m a função ϕ x = e m x é uma solução para a equação dada.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Para determinarmos os valores em que a função é solução, precisamos substituir a função na EDO e derivarmos. Após isso, vamos achar uma equação em função de m e só teremos que achar para que valor de m a EDO zera. Boraa!!

Passo 2

A EDO da vez é:

d 2 y d x 2 + 6 d y d x + 5 y = 0

Substituindo a solução.

e m x ' ' + 6 e m x ' + 5 e m x = 0

Derivando em função de x , encontramos:

e m x m 2 + 6 m + 5 = 0

Aqui podemos usar Bhaskara para encontrar as raízes.

r 12 = - 6 ± 36 - 20 2

r 1 = - 1                 r 2 = - 5

Então, os valores de m para os quais a função é solução da EDO, são m = - 1 e m = - 5 .

Passo 3

Vamos para a segunda EDO, mesmo esquema:

d 3 y d x 3 + 3 d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0

Substituindo a solução.

e m x ' ' ' + 3 e m x ' ' + 2 e m x ' = 0

Derivando em relação a x , encontramos:

e m x m 3 + 3 m 2 + 2 m = 0

Agora, temos que achar as raízes da função:

m 3 + 3 m 2 + 2 m = 0

m m 2 + 3 m + 2 = 0

Achamos uma das raízes, m = 0 . Vamos achar as outras com Bhaskara.

r 12 = - 3 ± 9 - 8 2

r 1 = - 1                 r 2 = - 2

Então, para a segunda EDO os valores são m = 0 , m = - 1 e m = - 2 .

Resposta

  1. m = 0 , m = - 1 e m = - 2
  2. m = - 1 e m = - 5