Enunciado

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

1 y + z i - x - z y + z 2 j - x + y y + z 2 k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = 1 y + z ,     N x , y , z = - x - z y + z 2 ,     R x , y , z = - x + y y + z 2

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = 1 y + z 2   N x x , y , z = 1 y + z 2 R x x , y , z = - 1 y + z 2

M z x , y , z = - 1 y + z 2 N z x , y , z = y + z 2 - x - z   ( 2 z + 2 y ) y + z 2 R y x , y , z = y + z 2 - x - z   ( 2 z + 2 y ) y + z 2

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

F x x , y , z = 1 y + z

  F y x , y , z = - x - z y + z 2

  F z x , y , z = - x + y y + z 2

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ 1 y + z d x = 1 y + z x + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

1 y + z + g y y , z = 1 y + z

F x , y , z = 1 y + z x + C

Resposta

F x , y , z = 1 y + z x + C

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