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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 17.6 - Ex. 28

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

2 x y + 7 z 3 i + x 2 + 2 y 2 - 3 z j - 21 x z 2 - 4 y k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = 2 x y + 7 z 3 ,     N x , y , z = x 2 + 2 y 2 - 3 z ,     R x , y , z = 21 x z 2 - 4 y

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = 2 x   N x x , y , z = 2 x R x x , y , z = 21 z 2

M z x , y , z = 21 z 2   N z x , y , z = - 3 R y x , y , z = - 4

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z ≠ R y x , y , z

Sendo N z x , y , z ≠ R y x , y , z → o vetor dado não é um gradiente de ∇ F ( x , y , z )

Resposta

Sendo N z x , y , z ≠ R y x , y , z → o vetor dado não é um gradiente de ∇ F ( x , y , z )