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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 17.6 - Ex. 29

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

e x e z - ln ⁡ y i + e y ln ⁡ z - e x y - 1 j - e x + z + e y z - 1 k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = e x e z - ln ⁡ y ,     N x , y , z = e y ln ⁡ z - e x y - 1 ,     R x , y , z = e x + z + e y z - 1

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = - 1 y e x   N x x , y , z = - e x y R x x , y , z = e x + z

M z x , y , z = e z e x N z x , y , z = e y z R y x , y , z = e y z

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

F x x , y , z = e x e z - ln ⁡ y

  F y x , y , z = e y ln ⁡ z - e x y - 1

  F z x , y , z = e x + z + e y z - 1

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ e x e z - ln ⁡ y e x d x = e x e z - e x ln ⁡ y + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

F x , y , z = e x + z + e y ln ⁡ z - e x ln ⁡ y + C

Resposta

F x , y , z = e x + z + e y ln ⁡ z - e x ln ⁡ y + C