Enunciado

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

2 y - 5 z i + 2 x + 8 z j - 5 x - 8 y k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = 2 y - 5 z ,     N x , y , z = 2 x + 8 z ,     R x , y , z = - 5 x + 8 y

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = 2   N x x , y , z = 2 R x x , y , z = - 5

M z x , y , z = - 5 N z x , y , z = 8 R y x , y , z = 8

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

F x x , y , z = 2 y - 5 z

  F y x , y , z = 2 x + 8 z

  F z x , y , z = 5 x - 8 y

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ 2 y - 5 z   d x = 2 y x - 5 z x + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

F y x , y , z = 2 x + g y ( y , z )

2 x + g y y , z = 2 x + 8 z

g y y , z = 8 z

Integrando

∫ 8 z   d y = 8 z y → g y , z = 8 z y + h ( z )

F x , y , z = 2 y x - 5 z x + 8 z y + C

Resposta

F x , y , z = 2 y x - 5 z x + 8 z y + C

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