Enunciado

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

4 x 3 i + 9 y 2 j - 2 z k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = 4 x 3 ,     N x , y , z = 9 y 2 ,     R x , y , z = - 2 z  

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = 0 N x x , y , z = 0 R x x , y , z = 0

M z x , y , z = 0 N z x , y , z = 0 R y x , y , z = 0

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

F x x , y , z = 4 x 3

  F y x , y , z = 9 y 2

  F z x , y , z = - 2 z

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ 4 x 3   d x = 4 x 4 4 = x 4 + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

F y x , y , z = g y ( y , z )

g y y , z = 9 y 2  

Integrando

∫ 9 y 2   d y = 9 y 3 3 → g y , z = 3 y 3 + h ( z )

F x , y , z = x 4 + 3 y 3 + C

Resposta

F x , y , z = x 4 + 3 y 3 + C

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