Enunciado

Determine um vetor unitário u que seja normal em P ( 2 , - 3 ) à curva de nível de f   x ,   y =   3 x 2 y - x y que passa por P .

Passo 1

Primeiramente, para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 2 , - 3 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 6 x y - y

f x   2 , - 3   = 6 2 - 3 - - 3 = - 33

f y   x , y   = 3 x 2 - x  

f y   2 , - 3   = 3 2 2 - 2 = 10

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   2 , - 3 e f y   2 , - 3 vamos aplicar a formula de gradiente, ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f   2 , - 3 =   - 33 i + 10 j

Passo 3

O vetor unitário é obtido pela fórmula:

u = ∇ f     x 0 , y 0 ‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖

Onde

‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖ = x 0 2 + y 0 2

Assim temos:

‖ ∇ f     2 , - 3 ‖ = 33 2 + 10 2 = 1189

Substituindo os resultados na fórmula de u , temos:

u = - 33 i + 10 j 1189

Tranquila, né?

Resposta

u = - 33 i + 10 j 1189

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