Enunciado

Determine um vetor unitário u que seja normal em P ( 1 ,   - 2 ) à curva de nível de f   ( x ,   y )   =   4 x 2 y que passa por P .

Passo 1

Primeiramente, para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 1 ,   - 2 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 8 x y

f x   1 ,   - 2   = 8 1 - 2 = - 16

f y   x , y   = 4 x 2

f y   1 ,   - 2   = 4 ( 1 ) 2 = 4

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   1 ,   - 2 e f y   1 ,   - 2 vamos aplicar a formula de gradiente, ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f     x 0 , y 0 = 8 x y i + 4 x 2 j

∇ f   2 , - 1 =   - 16 i + 4 j

Passo 3

O vetor unitário é obtido pela fórmula:

u = ∇ f     x 0 , y 0 ‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖

Onde

‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖ = x 0 2 + y 0 2

Assim temos:

‖ ∇ f     2 , - 1 ‖ = - 16 2 + 4 2 = 272 = 4 17

Substituindo os resultados na fórmula de u , temos:

u = - 16 i + 4 j 4 17 = - 4 i + j 17

Tranquila, né?

Resposta

u = ( - 4 i + j ) / 17

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