Diferenciar a seguinte função:

h(t) = ln(t) / (t^3 + 5)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função h ( t ) .

Quando você olha pra função f ( x ) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dividida pela outra?

Então precisamos usar a Regra do Quociente.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, bem rapidinho.

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função em outras duas funções, beleza?!

h (t) = (ln (t))/(t^3 + 5)

u (t) = ln (t)

v (t) = t^3 + 5

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

h (t) = (u (t))/(v (t))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (t) = (1)/(t)

v^' (t) = 3 t^2

E a Regra do Quociente é feita da seguinte forma:

h^' (t) = ((u (t))/(v (t)))^' = (u^' (t) v (t) - u (t) v^' (t))/((v (t))^2)

Para o nosso caso:

h^' (t) = ((1)/(t) * (t^3 + 5) - ln (t) * 3 t^2)/((t^3 + 5)^2) = ((t^3 + 5 - 3 t^3 ln (t))/(t))/((t^3 + 5)^2) = (t^3 - 3 t^3 ln (t) + 5)/(t (t^3 + 5)^2)

Sem mistério!

Resposta

h^' (t) = (t^3 - 3 t^3 ln (t) + 5)/(t (t^3 + 5)^2)