Diferenciar a seguinte função:

f(r) = ln(raiz(1 + 5 * r^3, 5))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( r ) .

Quando você olha pra função f (r) , você consegue enxergar que são três funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = root(n)(x) = x^((1)/(n)) -> f^' (x) = (1)/(n) x^((1)/(n) - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

f (r) = ln (root(5)(1 + 5 r^3))

u (r) = ln (r)

v (r) = root(5)(r) = r^((1)/(5))

w (r) = 1 + 5 r ³

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f (r) = u (v (w (r)))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (r) = (1)/(r)

v^' (r) = (1)/(5) r^((1)/(5) - 1) = (r^(- (4)/(5)))/(5) = (root(5)(r^(- 4)))/(5)

w^' (r) = 15 r^2

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

f^' (r) = w^' (x) * v^' (1 + 5 r^3) * u^' (root(5)(1 + 5 r^3)) = 15 r^2 * ((1 + 5 r^3)^(- (4)/(5)))/(5) * (1)/((1 + 5 r^3)^((1)/(5))) = 3 r^2 * (1 + 5 r^3)^(- (4)/(5) - (1)/(5)) = 3 r^2 (1 + 5 r^3)^(- (5)/(5)) = 3 r^2 (1 + 5 r^3)^(- 1) = (3 r^2)/(1 + 5 r^3)

Sem mistério!

Resposta

f^' (r) = (3 r^2)/(1 + 5 r ³)