Diferenciar a seguinte função:

f(x) = 1 / 6 * ln( (8 * x^2) / (4 * x^3 + 1) )

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( x ) .

Quando você olha pra função f ( x ) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

f (x) = (1)/(6) ln ((8 x^2)/(4 x^3 + 1))

u (x) = (1)/(6) ln (x)

v (x) = (8 x^2)/(4 x^3 + 1)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f (x) = u ( v (x) )

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(6 x)

Para derivar a nossa v ( x ) , vamos precisar de um pouquinho mais de atenção.

Repare que podemos reescrever a nossa v ( x ) da seguinte forma:

v_1 (x) = 8 x^2

v_2 (x) = 4 x^3 + 1

v (x) = (v_1 (x))/(v_2 (x))

E como derivamos isso? Bem, vamos aplicar a Regra do Quociente!

v^' (x) = ((v_1 (x))/(v_2 (x)))^' = (v_1^' (x) v_2 (x) - v_1 (x) v_2^' (x))/((v_2 (x))^2)

Derivando cada uma das funções que separamos:

v_1^' (x) = 16 x

v_2^' (x) = 12 x^2

Aplicando a Regra do Quociente:

v^' (x) = (16 x * (4 x^3 + 1) - 8 x^2 * 12 x^2)/((4 x^3 + 1)^2) = (64 x^4 + 16 x - 96 x^4)/((4 x^3 + 1)^2) = (- 32 x^4 + 16 x)/((4 x^3 + 1)^2)

Passo 4

Vamos matar a questão!

Essa tal de Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e fazendo as devidas simplificações:

f^' (x) = v^' (x) * u^' ((8 x^2)/(4 x^3 + 1)) = ((- 32 x^4 + 16 x)/((4 x^3 + 1)^2)) * (1)/(6 * ((8 x^2)/(4 x^3 + 1)))

= (- 32 x^4 + 16 x)/((4 x^3 + 1)^2) * (4 x^3 + 1)/(6 * 8 x^2) = (- 32 x^4 + 16 x)/((4 x^3 + 1) 8 x^2 * 6) = (8 x (- 4 x^3 + 2))/(8 x^2 (4 x^3 + 1) * 6) = (- 4 x^3 + 2)/(6 x (4 x^3 + 1))

= (2 (- 2 x^3 + 1))/(2 (12 x^4 + 3 x)) = (- 2 x^3 + 1)/(12 x^4 + 3 x)

Sem mistério!

Resposta

f^' (x) = (- 2 x^3 + 1)/(12 x^4 + 3 x)