Diferenciar a seguinte função:

g(t) = ln(t^3) + ln(t^2)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( t ) .

Vamos separar a nossa função g ( t ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

g_1 (t) = ln (t)

g_2 (t) = t^3 ln (t^2)

E também vamos separar g_2 ( t ) em mais 2 termos:

g_21 (t) = t ³

g_22 (t) = ln (t^2)

E mais uma separação aqui (a última, juro...):

u_22 (t) = ln (t)

v_22 (t) = t^2

Quando você olha para as funções g_2 2 (t) e g ( t ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra? (Foi por isso que subdividimos tanto, hehehhe).

Isso nos diz que temos funções compostas. Então precisamos usar a Regra da Cadeia (2 vezes, nesse caso).

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Vamos aos pouquinhos pra não embolar, beleza?!

Começando pela nossa g_22 ( t ) . Vamos derivar suas divisões uma a uma:

u_(22)^' (t) = (1)/(t)

v_(2 2)^' (t) = 2 t

Vamos aplicar a Regra da Cadeia:

g_(22)^' (t) = v_(22)^' (t) * u_(22)^' (t^2) = 2 t * (1)/(t^2) = (2)/(t)

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar a nossa g_21 (t) :

g_(21)^' (t) = 3 t ²

Ficou fácil achar a derivada de g_2 (t) , né?

Basta aplicar a Regra do Produto:

g_2^' (t) = g_(21)^' (t) g_22 (t) + g_21 (t) g_(22)^' (t)

g_2^' (t) = 3 t^2 * ln (t^2) + t^3 * (2)/(t) = 3 t^2 ln (t^2) + 2 t^2

Passo 4

Tá quaaase acabando!

Vamos derivar g_1 (t) e depois fazer a Regra da Cadeia pela última vez. Aí fechou!

g_1^' (t) = (1)/(t)

Fazendo a Regra da Cadeia e fazendo as devidas simplificações, temos:

g^' (t) = g_2^' (t) * g_1^' (t^3 ln (t^2)) = (3 t^2 ln (t^2) + 2 t^2) * (1)/(t^3 ln (t^2)) = (t^2 (3 ln (t^2) + 2))/(t^3 ln (t^2))

= (3 ln (t^2) + 2)/(t l n (t^2))

Ufa!!!!!

Resposta

g^' (t) = (3 ln (t^2) + 2)/(t l n (t^2))