Diferenciar a seguinte função:

G(x) = ln(4x + x^2 + 5)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função G ( x ) .

Quando você olha pra função G ( x ) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

G (x) = ln (x^2 + 4 x + 5)

u (x) = ln (x)

v (x) = x^2 + 4 x + 5

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f (x) = u ( v (x) )

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

v^' (x) = 2 x + 4

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

G^' (x) = v^' (x) * u^' (x^2 + 4 x + 5) = (2 x + 4) * (1)/(x^2 + 4 x + 5) = (2 x + 4)/(x^2 + 4 x + 5)

Sem mistério!

Resposta

G^' (x) = (2 x + 4)/(x^2 + 4 x + 5)