Diferenciar a seguinte função:

f(t) = t * g^(-1)(ln(t))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( t ) .

Vamos dar uma arrumadinha nela primeiro:

f (t) = t g^(- 1) (ln (t)) = c o t g (ln (t))

Quando você olha pra função f (t) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, bem rapidinho.

f (t) = ln (t) -> f ' (t) = (1)/(t)

f (t) = c o tg (t) -> f^' (t) = - c o s s e c ² ( t )

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

f (t) = c o t g (ln (t))

u (t) = c o t g (t)

v (t) = ln (t)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f (t) = u (v (t))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (t) = - c o s s e c ² ( t )

v^' (t) = (1)/(t)

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

f^' (t) = v^' (t) * u^' (ln (t)) = (1)/(t) * (- c o s s e c^2 (ln (t))) = - (c o s s e c^2 (ln (t)))/(t)

Sem mistério!

Resposta

f^' (t) = - (c o s s e c^2 (ln (t)))/(t)