Diferenciar a seguinte função:

H(x) = raiz(ln(x / (x + 2)))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função H ( x ) .

Quando você olha pra função H ( x ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = root(n)(x) = x^((1)/(n)) -> f^' (x) = (1)/(n) x^((1)/(n) - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

H (x) = sqrt(ln ((x)/(x + 2)))

u (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2))

v (x) = ln (x)

w (x) = (x)/(x + 2)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

H (x) = u (v (w (x)))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

v^' (x) = (1)/(x)

Para derivar a nossa w ( x ) , vamos precisar de um pouquinho mais de atenção.

Repare que podemos reescrever a nossa w ( x ) da seguinte forma:

w_1 (x) = x

w_2 (x) = x + 2

w (x) = (w_1 (x))/(w_2 (x))

E como derivamos isso? Bem, vamos aplicar a Regra do Quociente!

w^' (x) = ((w_1 (x))/(w_2 (x)))^' = (w_1^' (x) w_2 (x) - w_1 (x) w_2^' (x))/((w_2 (x))^2)

Derivando cada uma das funções que separamos:

w_1^' (x) = 1

w_2^' (x) = 1

Aplicando a Regra do Quociente:

w^' (x) = (1 * (x + 2) - x * 1)/((x + 2)^2) = (x + 2 - x)/((x + 2)^2) = (2)/((x + 2)^2)

Passo 4

Vamos matar a questão!

Essa tal de Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e fazendo as devidas simplificações:

H^' (x) = w^' (x) * v^' ((x)/(x + 2)) * u^' (ln (x)) = (2)/((x + 2)^2) * (1)/((x)/(x + 2)) * (1)/(2) (ln ((x)/(x + 2)))^(- (1)/(2))

= (2)/((x + 2)^2) * (x + 2)/(x) * (1)/(2 sqrt(ln ((x)/(x + 2)))) = (1)/(x (x + 2) sqrt(ln ((x)/(x + 2)))) = (1)/(( x^2 + 2 x ) sqrt(ln ((x)/(x + 2))))

Sem mistério!

Resposta

H^' (x) = (1)/((x^2 + 2 x) sqrt(ln ((x)/(x + 2))))