Diferenciar a seguinte função:

f(t) = sen(t) * ln(t^2 + 7)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( t ) .

Vamos separar a nossa função f ( t ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

f_1 (t) = s e n (t)

f_2 (t) = ln (t^2 + 7)

Quando você olha pra função f_2 (t) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, bem rapidinho.

f (t) = ln (t) -> f ' (t) = (1)/(t)

f (t) = s e n ( t ) -> f^' (t) = cos (t)

f (t) = t^n -> f^' (t) = n t^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

f_2 (t) = ln (t^2 + 7)

u (t) = ln (t)

v (t) = t^2 + 7

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f_2 (t) = u (v (t))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (t) = (1)/(t)

v^' (t) = 2 t

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

f_2^' (t) = v^' (t) * u^' (t^2 + 7) = 2 t * (1)/(t^2 + 7) = (2 t)/(t^2 + 7)

Ainda não acabou! Heheheh

Precisamos calcular também a derivada da nossa f_1 (t) = s e n (t) :

f_1^' (t) = cos (t)

E para achar a nossa f^' (x) temos que aplicar a Regra do Produto:

Só pra lembrar, vou deixar uma colinha aqui:

(f_1 (t) f_2 (t))^' = f_1^' (t) f_2 (t) + f_1 (t) f_2^' (t)

Que, no nosso caso, fica:

f^' (t) = cos (t) * ln (t^2 + 7) + s e n (t) * (2 t)/(t^2 + 7) = cos (t) ln (t^2 + 7) + (2 t s e n (t))/(t^2 + 7)

Sem mistério!

Resposta

f^' (t) = cos (t) ln (t^2 + 7) + (2 t s e n (t))/(t^2 + 7)