Diferenciar a seguinte função:

h(x) = ln(cos^2(x))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função h ( x ) .

Antes de mais nada, temos que abrir o c o s^2 (x) numa função que já sabemos derivar, só pra facilitar a nossa vida.

Temos então:

c o s^2 (x) = (1 + cos (2 x))/(2)

Logo, podemos escrever a nossa função assim:

h (x) = ln ((1 + cos (2 x))/(2))

Quando você olha para as funções e h ( x ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos funções compostas. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = cos (x) -> f^' (x) = - s e n (x)

Moleza!

Passo 2

Vamos aos pouquinhos pra não embolar, beleza?!

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

h (x) = ln ((1 + cos (2 x))/(2))

u (x) = ln (x)

v (x) = (1 + c o s (x))/(2)

w (x) = 2 x

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

v^' (x) = ((1)/(2))^' + ((cos (x))/(2))^' = 0 + (- s e n (x))/(2) = - (s e n (x))/(2)

w^' (x) = 2

E a Regra da Cadeia, que falamos láaaa no comecinho, nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

h^' (x) = w^' (x) * v^' (2 x) * u^' ((1 + cos (2 x))/(2)) = 2 * (- (s e n (2 x))/(2)) * (1)/((1 + cos (2 x))/(2))

Usando as relações trigonométricas c o s^2 (x) = (1 + ( c o s ( 2 x ))/(2) e s e n (2 x) = 2 cos (x) s e n (x) , e fazendo as devidas simplificações, temos:

= (- s e n (2 x))/(c o s^2 (x)) = (- 2 cos (x) s e n (x))/(c o s ² ( x )) = - (2 s e n (x))/(cos (x)) = - 2 t g (x)

Sem mistério!

Resposta

h^' (t) = - 2 t g (x)