Diferenciar a seguinte função:

g(r) = r^2 * cosec(ln(r^2))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( r ) .

Vamos separar a nossa função g ( r ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

g_1 (r) = r^2

g_2 (r) = c o s e c (ln (r^2))

Quando você olha pra função g_2 ( r ) , você consegue enxergar que são três funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = cosec (x) -> f^' (x) = - cosec (x) c o t g (x)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

g_2 (r) = c o s e c (ln (r^2))

u (r) = c o s e c (r)

v (r) = ln (r)

w (r) = r^2

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

g_2 (r) = u (v (w (r)))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (r) = - c o s e c (r) c o t g (r)

v^' (r) = (1)/(r)

w^' (r) = 2 r

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

g_2^' (r) = w^' (r) * v^' (r^2) * u^' (l n ( r^2 ) )) = 2 r * (1)/(r^2) * (- c o s e c (ln (r^2)) c o t g (ln (r^2)))

= - (2 c o s e c (ln (r^2)) c o t g (ln (r^2)))/(r)

Ainda não acabou, hehehehe...

Precisamos calcular também a derivada da nossa g_1 (r) = r^2 :

g_1^' (r) = 2 r

E para achar a nossa g^' (r) temos que aplicar a Regra do Produto:

Só pra lembrar, vou deixar uma colinha aqui:

(g_1 (r) g_2 (r))^' = g_1^' (r) g_2 (r) + g_1 (r) g_2^' (r)

Que, no nosso caso, fica:

g^' (r) = 2 r * c o s e c (ln (r^2)) + r^2 * (- (2 c o s e c (ln (r^2)) c o t g (ln (r^2)))/(r))

= 2 r c o s e c (ln (r^2)) - 2 r c o s e c (ln (r^2)) c o t g (ln (r^2))

= 2 r * c o s e c (ln (r^2)) ( 1 - c o t g (ln (r^2))

Sem mistério!

Resposta

g^' (r) = 2 r * c o s e c (ln (r^2)) (1 - c o t g (ln (r^2)))