Diferenciar a seguinte função:

g(x) = x - ln(seu(6x))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( x ) .

Vamos separar a nossa função g ( x ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

g_1 (x) = x

g_2 (x) = - ln (s e n (6 x))

Quando você olha pra função g_2 (x) , você consegue enxergar que são três funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, bem rapidinho.

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = s e n ( x ) -> f^' (x) = cos (x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

g_2 (x) = - ln (s e n (6 x))

u (x) = - ln (x)

v (x) = s e n (x)

w (x) = 6 x

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

g_2 (x) = u (v (w (x)))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = - (1)/(x)

v^' (x) = cos (x)

w^' (x) = 6

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

g_2^' (x) = w^' (x) * v^' (6 x) * u^' (s e n (6 x)) = 6 * cos (6 x) * (- (1)/(s e n (6 x))) = - (6 cos (6 x))/(s e n (6 x)) = - (6)/(t g (6 x)) = - 6 c o t g (6 x)

Ainda não acabou! Heheheh

Precisamos calcular também a derivada da nossa g_1 (x) = x :

g_1^' (x) = 1

E para achar a nossa g^' (x) , basta fazer a soma:

g^' (x) = g_1^' (x) + g_2^' (x)

Que fica:

g^' (x) = 1 - 6 c o t g (6 x)

Sem mistério!

Resposta

g^' (x) = 1 - 6 c o t g (6 x)