Diferenciar a seguinte função:

g(x) = ln(raiz( x / (x² + 1), 3))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( x ) .

Antes de tudo vamos dar uma repaginada na cara dessa função:

g (x) = ln ((x)/(x^2 + 1))^((1)/(3)) = (1)/(3) ln ((x)/(x^2 + 1))

Passo 2

Bora continuar!

Quando você olha pra função g ( x ) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 3

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

g (x) = (1)/(3) ln ((x)/(x^2 + 1))

u (x) = (1)/(3) ln (x)

v (x) = (x)/(x^2 + 1)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

g (x) = u ( v (x) )

Até aqui tá tranquilo?

Passo 4

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(3 x)

Para derivar a nossa v ( x ) , vamos precisar de um pouquinho mais de atenção.

Repare que podemos reescrever a nossa v ( x ) da seguinte forma:

v_1 (x) = x

v_2 (x) = x^2 + 1

v (x) = (v_1 (x))/(v_2 (x))

E como derivamos isso? Bem, vamos aplicar a Regra do Quociente!

v^' (x) = ((v_1 (x))/(v_2 (x)))^' = (v_1^' (x) v_2 (x) - v_1 (x) v_2^' (x))/((v_2 (x))^2)

Derivando cada uma das funções que separamos:

v_1^' (x) = 1

v_2^' (x) = 2 x

Aplicando a Regra do Quociente:

v^' (x) = (1 * (x^2 + 1) - x * 2 x)/((x^2 + 1)^2) = (x^2 + 1 - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (- x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2)

Passo 5

Vamos matar a questão!

Essa tal de Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e fazendo as devidas simplificações:

g^' (x) = v^' (x) * u^' ((x)/(x^2 + 1)) = ((- x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2)) * (1)/((3 x)/(x^2 + 1)) = (- x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2) * (x^2 + 1)/(3 x)

= (- x^2 + 1)/(3 x ( x^2 + 1 )) = (- x^2 + 1)/(3 x^3 + 3 x)

Sem mistério!

Resposta

g^' (x) = (- x^2 + 1)/(3 x^3 + 3 x)