Diferenciar a seguinte função:

g(v) = ln(v^2 * raiz(v + 1))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( v ) .

Vamos separar a nossa função g ( x ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

g_1 (v) = ln (v)

g_2 (v) = v^2 sqrt(v + 1)

E também vamos separar g_2 ( t ) em mais 2 termos:

g_21 (v) = v^2

g_22 (v) = sqrt(v + 1)

Quando você olha pra função g_2 (v) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = root(n)(x) = x^((1)/(n)) -> f^' (x) = (1)/(n) x^((1)/(n) - 1)

Moleza!

Passo 2

Agora vamos derivar cada função que já separamos, uma a uma:

g_1^' (v) = (1)/(v)

g_(21)^' (v) = 2 v

g_(22)^' (v) = ((v + 1)^(- (1)/(2)))/(2) = (1)/(2 sqrt(v + 1))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos juntar tudo!

Mas antes...

Temos que aplicar a Regra do Produto para descobrir quem é o nosso g_2^' (v) .

g_2^' (v) = g_(21)^' (v) g_22 (v) + g_21 (v) g_(22)^' (v)

g_2^' (v) = 2 v * sqrt(v + 1) + v^2 * (1)/(2 sqrt(v + 1)) = 2 v sqrt(v + 1) + (v^2)/(2 sqrt(v + 1))

Agora podemos prosseguir!

Lembra que ali em cima comentamos sobre usar a Regra da Cadeia, pois estamos com uma função composta? Pois bem...

A Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e simplificando:

g^' (v) = g_2^' (v) * g_1^' (v^2 sqrt(v + 1)) = (2 v sqrt(v + 1) + (v^2)/(2 sqrt(v + 1))) * (1)/(v^2 sqrt(v + 1))

= (2 v sqrt(v + 1))/(v^2 sqrt(v + 1)) + (v^2)/(2 v^2 (sqrt(v + 1))^2) = (2)/(v) + (1)/(2 (v + 1)) = (2)/(v) + (1)/(2 v + 2) = (2 (2 v + 2) + v)/(v ( 2 v + 2 ))

= (4 v + 4 + v)/(2 v^2 + 2 v) = (5 v + 4)/(2 v^2 + 2 v)

Ufa!!!!!!!

Resposta

g^' (v) = (5 v + 4)/(2 v^2 + 2 v)