Diferenciar a seguinte função:

f(x) = ln(cotg(x / 3)) / x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( x ) .

Antes de tudo, vamos fazer uma breve análise:

A função f ( x ) é o quociente entre duas funções, certo? São elas:

f (x) = ln (c o t g ((x)/(3)))

f_2 (x) = x

Quando você olha pra função f_1 ( x ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = c o t g (x) -> f^' (x) = - c o s e c^2 (x)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

f_1 (x) = ln (c o t g ((x)/(3)))

u (x) = ln (x)

v (x) = c o t g (x)

w (x) = (x)/(3)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f_1 (x) = u (v (w (x)))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

v^' (x) = - c o s e c^2 (x)

w^' (x) = (1)/(3)

Passo 4

Essa tal de Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e fazendo as devidas simplificações:

f_1^' (x) = w^' (x) * v^' ((x)/(3)) * u^' (c o t g ((x)/(3))) = (1)/(3) * (- c o s e c^2 ((x)/(3))) * (1)/(c o t g ((x)/(3)))

= - (1)/(3) * (1)/(s e n^2 ((x)/(3))) * (1)/((1)/(t g ((x)/(3)))) = - (1)/(3) * (1)/(s e n^2 ((x)/(3))) * t g ((x)/(3)) = - (1)/(3) * (1)/(s e n^2 ((x)/(3))) * (sen ((x)/(3)))/(c o s ((x)/(3)))

= - (1)/(3) * (1)/(s e n ((x)/(3))) * (1)/(cos ((x)/(3))) = - (1)/(3) c o s e c ((x)/(3)) sec ((x)/(3))

Passo 5

Ainda não acabou, hehhehehe...

Lembra que estamos procurando a nossa f^' (x) ?

E nossa função é:

f (x) = (f_1 (x))/(f_2 (x))

Já achamos f_1^' (x) . Agora vamos derivar nosso f_2 (x) .

f_2 (x) = x

f_2^' (x) = 1

E, finalmente, podemos aplicar a Regra do Quociente e matar nossa questão!

f^' (x) = (f_1^' (x) f_2 (x) - f_1 (x) f_2^' (x))/((f_2 (x))^2)

f^' (x) = (- (1)/(3) c o s e c ((x)/(3)) sec ((x)/(3)) * x - ln (c o t g ((x)/(3))) * 1)/((x)^2)

= (- x c o s e c ((x)/(3)) sec ((x)/(3)) - ln (c o t g ((x)/(3))))/(3 x^2)

Agora acabou! :)

Resposta

f^' (x) = (- x c o s e c ((x)/(3)) sec ((x)/(3)) - ln (c o t g ((x)/(3))))/(3 x^2)