Diferenciar a seguinte função:

g(x) = ln(t * g^2(x)) / x^2

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( x ) .

Antes de tudo, vamos fazer uma breve análise:

A função g ( x ) é o quociente entre duas funções, certo? São elas:

g_1 (x) = ln (t g^2 (x))

g_2 (x) = x^2

Quando você olha pra função g_1 ( x ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = t g (x) -> f^' (x) = s e c^2 (x)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

g_1 (x) = ln (t g^2 (x))

u (x) = ln (x)

v (x) = t g^2 (x) = t g (x) * t g (x)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

g_1 (x) = u (v (x))

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

Para derivar a nossa v ( x ) , vamos precisar de um pouquinho mais de atenção.

Repare que podemos reescrever a nossa v ( x ) da seguinte forma:

v_1 (x) = t g (x)

v_2 (x) = t g (x)

w (x) = v_1 (x) * v_2 (x)

E como derivamos isso? Bem, vamos aplicar a Regra do Produto!

v^' (x) = (v_1 (x) v_2 (x))^' = v_1^' (x) v_2 (x) + v_1 (x) v_2^' (x)

Derivando cada uma das funções que separamos:

v_1^' (x) = s e c^2 (x)

v_2^' (x) = s e c^2 (x)

Aplicando a Regra do Produto:

v^' (x) = s e c^2 (x) t g (x) + t g (x) s e c^2 (x) = 2 s e c^2 (x) t g (x)

Passo 4

Essa tal de Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo e fazendo as devidas simplificações:

g_1^' (x) = v^' (x) * u^' (t g^2 (x)) = 2 s e c^2 (x) t g (x) * (1)/(t g^2 (x)) = (2 s e c^2 (x))/(t g (x))

= 2 * (1)/(c o s^2 (x)) * (1)/((s e n (x))/(cos (x))) = 2 * (1)/(s e n (x)) * (1)/(cos (x)) = 2 c o s e c (x) sec (x)

Passo 5

Ainda não acabou, hehhehehe...

Lembra que estamos procurando a nossa g^' (x) ?

E nossa função é:

g (x) = (g_1 (x))/(g_2 (x))

Já achamos g_1^' (x) . Agora vamos derivar nosso g_2 (x) .

g_2 (x) = x^2

g_2^' (x) = 2 x

E, finalmente, podemos aplicar a Regra do Quociente e matar nossa questão!

g^' (x) = (g_1^' (x) g_2 (x) - g_1 (x) g_2^' (x))/((g_2 (x))^2)

g^' (x) = (2 c o s e c (x) sec (x) * x^2 - ln (t g^2 (x)) * 2 x)/((x^2)^2)

= ((2 x) (x c o s e c (x) sec (x) - ln (t g^2 (x))))/(x^4) = (2 (x c o s e c (c) sec (x) - ln (t g^2 (x))))/(x^3)

Agora acabou! :)

Resposta

g^' (x) = (2 (x c o s e c (x) sec (x) - ln (t g^2 (x))))/(x^3)