Diferenciar a seguinte função:

g(x) = ln(cos(x^2))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função g ( x ) .

Quando você olha pra função g ( x ) , você consegue enxergar que são três funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, bem rapidinho.

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = cos (x) -> f^' (x) = - s e n (x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em três funções, beleza?!

g (x) = ln (cos (x^2))

u (x) = ln (x)

v (x) = cos (x)

w (x) = x^2

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

g (x) = u ( v (w ( x )) )

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

v^' (x) = - s e n (x)

w^' (x) = 2 x

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

g^' (x) = w^' (x) * v^' (x^2) * u^' (cos (x^2)) = 2 x * (- s e n (x^2)) * (1)/(c o s (x^2)) = (- 2 x s e n (x^2))/(cos (x^2)) = - 2 x t g (x^2)

Sem mistério!

Resposta

g^' (x) = - 2 x t g (x^2)