Diferenciar a seguinte função:

f(x) = ln(cossec(x) - cotg(x))

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função f ( x ) .

Vamos separar a nossa função f ( x ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

f_1 (x) = ln (x)

f_2 (x) = c o s s e c (x) - c o t g (x)

E também vamos separar f_2 ( x ) em mais 2 termos:

f_21 (x) = c o s s e c (x)

f_22 (x) = - c o t g (x)

Quando você olha pra função f ( x ) , você consegue enxergar que são várias funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = c o s s e c (x) -> f^' (x) = - c o s s e c (x) c o t g (x)

f (x) = c o t g (x) -> f^' (x) = - c o s s e c^2 (x)

Moleza!

Passo 2

Agora vamos derivar cada função que já separamos, uma a uma:

f_1^' (x) = (1)/(x)

f_(21)^' (x) = - c o s s e c (x) c o t g (x)

f_(22)^' (x) = - (- c o s s e c^2 (x)) = c o s s e c^2 (x)

Passo 3

Agora vamos juntar tudo!

Mas antes...

f_2^' (x) = f_(21)^' (x) + f_(22)^' (x)

f_2^' (x) = - c o s s e c (x) c o t g (c) + c o s s e c^2 (x)

Agora podemos prosseguir!

Lembra que ali em cima comentamos sobre usar a Regra da Cadeia, pois estamos com uma função composta? Pois bem...

A Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

f^' (x) = f_2^' (x) * f_1^' (c o s s e c (x) - c o t g (x))

= (- c o s s e c (x) c o t g (x) + c o s s e c^2 (x)) * (1)/(c o s s e c (x) - c o t g (x))

= (- c o s s e c (x) c o t g (x) + c o s s e c^2 (x))/(c o s s e c (x) - c o t g (x))

Usando as relações Trigonométricas c o s s e c (x) = (1)/(s e n (x)) e c o t g (x) = (1)/(t g) = (cos (x))/(s e n (x)) , e fazendo as devidas simplificações, temos:

= ((- (1)/(s e n (x)) * (cos (x))/(s e n (x))) + (1)/(s e n^2 (x)))/((1)/(s e n (x)) - (cos (x))/(s e n (x))) = ((1)/(s e n (x)) (- (cos (x))/(s e n (x)) + (1)/(s e n (x))))/((1)/(s e n (x)) (1 - cos (x))) = (- (cos (x))/(s e n (x)) + (1)/(s e n (x)))/(1 - cos (x))

= ((- cos (x) + 1)/(s e n (x))) * (1)/(1 - cos (x)) = (1 - cos (x))/(s e n (x) (1 - cos (x))) = (1)/(s e n (x)) = c o s s e c (x)

Ufa!!!!!!!

Resposta

f^' (x) = c o s s e c (x)