Diferenciar a seguinte função:

h(x) = x * ln(sec(x) / 5)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui ele nos pede para derivar a função h ( x ) .

Vamos separar a nossa função h ( x ) em 2 termos pra facilitar a nossa análise, ok?

Então temos:

h_1 (x) = ln ((s e c (x))/(5))

h_2 (x) = x

Quando você olha pra função h_1 ( x ) , você consegue enxergar que são duas funções, uma dentro da outra?

Isso nos diz que temos uma função composta. Então precisamos usar a Regra da Cadeia.

Vamos lembrar aqui alguns conceitos, beeem rapidinho:

f (x) = ln (x) -> f ' (x) = (1)/(x)

f (x) = x^n -> f^' (x) = n x^(n - 1)

f (x) = sec (x) -> f^' (x) = sec (x) t g (x)

Moleza!

Passo 2

Primeiro, vamos separar nossa função composta em duas funções, beleza?!

h_1 (x) = ln ((sec (x))/(5))

u (x) = ln (x)

v (x) = (sec (x))/(5)

Então, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

f (x) = u ( v (x) )

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar cada função separadamente:

u^' (x) = (1)/(x)

v^' (x) = (sec (x) t g ( x ))/(5)

E a Regra da Cadeia nada mais é que o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora, sendo que a função de fora tem a função de dentro no seu argumento.

Juntando tudo:

h_1^' (x) = v^' (x) * u^' ((sec (x))/(5)) = (sec (x) t g (x))/(5) * (1)/((sec (x))/(5)) = t g (x)

Ainda não acabou, hehehehe...

Precisamos calcular também a derivada da nossa h_2 (x) = x :

h_2^' (x) = 1

E para achar a nossa h^' (x) temos que aplicar a Regra do Produto:

Só pra lembrar, vou deixar uma colinha aqui:

(h_1 (x) h_2 (x))^' = h_1^' (x) h_2 (x) + h_1 (x) h_2^' (x)

Que, no nosso caso, fica:

h^' (x) = t g (x) * x + ln ((sec (x))/(5)) * 1 = x t g (x) + ln ((sec (x))/(5))

Sem mistério!

Resposta

h^' (x) = x t g (x) + ln ((sec (x))/(5))