A distância percorrida por uma partícula no instante t é s(t) = t^3 + t . Calcule a velocidade média ao longo do intervalo de tempo [1,4] e dê uma estimativa da velocidade instantânea em t = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A velocidade média pode ser encontrada usando a seguinte média:

Δ t = 4 - 1 = 3

E

Δ s = s 4 - s ( 1 )

Com isso, podemos substituir da seguinte forma:

Δ s = 4 3 + 4 - ( 1 3 + 1 )

Desenvolvendo um pouco mais,

Δ s = 68 - 2 = 66

Logo, a velocidade média é dada por

v m é d = Δ s Δ t

Novamente, fazendo a substituição

v m é d = 66 3 = 22   m / s

Passo 2

Nós precisamos encontrar a velocidade instantânea em t = 1 . Considerando o primeiro intervalo t 0 , t 1 = [ 1 ; 1.01 ]

Δ t = 1.01 - 1 = 0.01

E

Δ s = s 1.01 - s ( 1 )

Com isso, fazendo a substituição

Δ s = 1,01 3 + 1.01 - ( 1 3 + 1 )

Desenvolvendo um pouco mais,

Δ s = 2,04030 - 2 = 0,04030

Logo, a velocidade média é igual a

v m é d = Δ s Δ t = 0,04030 0,1 = 4,030   m / s

Passo 3

Temos que fazer uma tabela de velocidade média igual à anterior para intervalo mais curto. Com isso, nós temos que

Parece que essas velocidades médias estão se aproximando de 4,0 m/s à medida que a duração do intervalo de tempo diminui. Isso sugere que 4,0 m/s é um bom candidato para a velocidade instantânea em t = 1.

Resposta

v m é d = 22   m / s

v i n s t t = 1 = 4   m / s