vec f (t) = vec a t + vec b t^2 ; vec g (t) = t vec i + s e n (t) vec j + cos (t) vec k ; s e n d o vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Antes de começar a brincadeira, vamos substituir vec a e vec b em vec f ( t ) para facilite o nosso trabalho daqui pra frente, ok?!

vec f (t) = (vec i + vec j) t + (2 vec i - vec j) t^2 = t vec i + t vec j + 2 t^2 vec i - t^2 vec j

Assim, temos:

vec f (t) = (t + 2 t^2) vec i + (t - t^2) vec j

Passo 2

c) vec f (t) xx vec g ( t )

Aqui é um pouco mais chatinho, mas nada que já não tenhamos feito, não é mesmo?

É só montar a matriz 3x3 e calcular seu determinante da forma que preferir.

Caso não lembre como calcular a determinante de uma matriz, dê uma olhadinha no nosso tópico de Geometria Analítica que lá tem explicando todo o passo a passo. ;)

vec f (t) xx vec g (t) = [[[vec i,vec j,vec k],[f_1,(,t,),f_2,(,t,),f_3,(,t,)],[g_1,(,t,),g_2,(,t,),g_3,(,t,)]]] = [[[vec i,vec j,vec k],[(t + 2 t^2),(t - t^2),0],[t,s,e,n,(t),cos (t)]]]

vec f (t) xx vec g (t) = [(t - t^2) * cos (t)] vec i + [0 * t] vec j + [(t + 2 t^2) * s e n (t)] vec k - [t * (t - t^2)] vec k - [s e n (t) * 0] vec i - [cos (t) * (t + 2 t^2)] vec j

vec f (t) xx vec g (t) = [t c o s (t) - t^2 cos (t)] vec i + 0 vec j + [t s e n (t) + 2 t^2 s e n (t)] vec k - 0 vec i - [t c o s (t) + 2 t^2 cos (t)] vec j - [t^2 - t^3] vec k

vec f (t) xx vec g (t) = (1 - t) t c o s ( t ) vec i + ( - 1 - 2 t ) t c o s ( t ) vec j + (t^2 - t + 2 t s e n (t) + s e n (t)) t vec k

Resposta

c) vec f (t) xx vec g (t) = (1 - t) t c o s ( t ) vec i + ( - 1 - 2 t ) t c o s ( t ) vec j + (t^2 - t + 2 t s e n (t) + s e n (t)) t vec k