r(t) = t * i + 1 / (t - 2) * j + k

Passo 1

  1. Primeiro queremos encontrar a posição da partícula nos instantes t = 0 e t = 1 .
  2. Aqui é fácil, basta substituir os valores no seu vetor posição que foi dado.

    - Para t = 0 :

    vec r (0) = 0 vec i + (1)/(0 - 2) vec j + vec k = - (1)/(2) vec j + vec k

    - Para t = 1 :

    vec r (1) = 1 vec i + (1)/(1 - 2) vec j + vec k = vec i - vec j + vec k

    Passo 2

  3. Para esboçar a trajetória iremos inicialmente separar as componentes de vec r ( t ) em x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) .
  4. x (t) = t

    y (t) = (1)/(t - 2)

    z (t) = 1

    Agora iremos definir um limite arbitrário (respeitando o domínio das componentes) para montar uma tabela auxiliar no esboço da trajetória.

    Agora basta marcar os pontos que achamos e traçar nosso esboço!

    Para t = - 2 -> x (t) = - 2 , y (t) = - (1)/(4) , z (t) = 1

    Para t = - 1 -> x (t) = - 1 , y (t) = - (1)/(3) , z (t) = 1

    Para t = 0 -> x (t) = 0 , y (t) = - (1)/(2) , z (t) = 1

    Para t = 1 -> x (t) = 1 , y (t) = - 1 , z (t) = 1

    Passo 3

  5. Vamos fazer uma breve análise aqui:

Perceba que quanto mais nos aproximamos de 2 pela esquerda, menor o valor de y (t) e quanto mais nos aproximamos de 2 pela direita, maior o valor de y ( t ) .

Isso significa que, quando t -> 2^- , y (t) -> - oo e t -> 2^+ , y (t) -> + oo .

Isso também pode ser observado apenas por análise gráfica!

Resposta

  1. vec r (0) = - (1)/(2) vec j + vec k
  2. vec r (1) = vec i - vec j + vec k

  3. Resposta nos passos acima.
  4. Quando t -> 2^- , y (t) -> - oo e t -> 2^+ , y (t) -> + oo .