f(t) = (e^t, e^(-t), t^2 + 1); P(1, 1, 1)

Passo 1

Aqui a questão nos pede para determinar DOIS vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função vec f ( t ) no ponto P .

Pera... QUE!??

Calma que vai dar certo!

Primeiro vamos achar a bendita derivada de vec f ( t ) , já que nosso mantra é: quando falamos de vetor tangente, falamos da derivada!!!

Vamos separar as componentes de vec f (t) , derivar uma a uma e juntar tudo, para ficar mais fácil:

x (t) = e^t -> x^' (t) = e^t

y (t) = e^(- t) -> y^' (t) = - e^(- t)

z (t) = t^2 + 1 -> z^' (t) = 2 t

vec f^' (t) = (e^t , - e^(- t) , 2 t)

Passo 2

Agora que já temos nossa derivada, vamos calcular o valor de t no pronto P . Para isso, igualamos vec f ( t ) ao ponto P , ou seja:

{ e^t = 1 e^(- t) = 1 t^2 + 1 = 1

Vamos pegar a terceira equação e calcular o valor de t , depois substituir nas outras duas e ver se o mesmo t satisfaz as equações:

t^2 + 1 = 1

t^2 = 1 - 1

t^2 = 0 -> t = 0

Substituindo em x (t) -> x (0) = e^0 = 1

Em y (t) -> y (0) = e^(- 0) = 1

Logo, nosso valor de t = 0 .

Passo 3

Tá acabando...

Vamos substituir o valor de t encontrado na nossa derivada:

vec f^' (0) = (e^0 , - e^(- 0) , 2 * 0) = ( 1 , - 1 , 0 )

Passo 4

Quaaaase lá!

Agora basta acharmos os dois vetores unitários tangentes ao nosso hodógrafo.

Beleza, mas como vamos fazer isso?

Se nós dividirmos a derivada do vetor pelo seu módulo, no ponto indicado, obteremos um vetor unitário que também é tangente ao hodógrafo, concorda?

vec u = (( 1 , - 1 , 0 ))/(sqrt(1^2 + (- 1)^2 + 0^2)) = ((1 , - 1 , 0))/(sqrt(2)) = ((1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2)) , 0)

Como ele nos pede DOIS vetores, a maneira mais fácil é usar este que encontramos, e o segundo sendo o mesmo vetor, multiplicado por - 1 . Isso vai alterar apenas o sentido do segundo vetor, mas ele não vai deixar de ser unitário. Então, finalmente, temos:

+- ((1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2)) , 0)

Resposta

+- ((1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2)) , 0)