g(t) = (4 + 2 * cos(t), 2 + 2 * sen(t), 1); P(4, 4, 1)

Passo 1

Aqui a questão nos pede para determinar DOIS vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função vec g ( t ) no ponto P .

Pera... QUE!??

Calma que vai dar certo!

Primeiro vamos achar a bendita derivada de vec g ( t ) , já que nosso mantra é: quando falamos de vetor tangente, falamos da derivada!!!

Vamos separar as componentes de vec g (t) , derivar uma a uma e juntar tudo, para ficar mais fácil:

x (t) = 4 + 2 c o s c o s (t) -> x^' (t) = - 2 s e n ( t )

y (t) = 2 + 2 s e n ( t ) -> y^' (t) = 2 c o s ( t )

z (t) = 1 -> z^' (t) = 0

vec g^' (t) = (- 2 s e n ( t ) , 2 c o s ( t ) , 0)

Passo 2

Agora que já temos nossa derivada, vamos calcular o valor de t no pronto P . Para isso, igualamos vec g ( t ) ao ponto P , ou seja:

{ 4 + 2 c o s ( t ) = 4 2 + 2 s e n ( t ) = 4 1 = 1

Vamos pegar a primeira equação e calcular o valor de t , depois substituir nas outras duas e ver se o mesmo t satisfaz as equações:

4 + 2 c o s c o s (t) = 4

2 c o s c o s (t) = 0

c o s c o s (t) = 0 -> t = (n pi)/(2) , AA n í m p a r

Vamos adotar t = (pi)/(2) para facilitar a nossa análise.

Substituindo em y (t) -> y ((pi)/(2)) = 2 + 2 s e n ((pi)/(2)) = 2 + (2 * 1) = 4 .

Em z (t) -> z ((pi)/(2)) = 1 = 1 .

Logo, nosso valor d t será realmente (pi)/(2) , já que ele satisfaz todas as equações.

Passo 3

Tá acabando...

Vamos substituir o valor de t encontrado na nossa derivada:

vec g^' ((pi)/(2)) = (- 2 * s e n ((pi)/(2)) , 2 * c o s c o s ((pi)/(2)) , 0) = ( - 2 , 0 , 0 )

Passo 4

Quaaaase lá!

Agora basta acharmos os dois vetores unitários tangentes ao nosso hodógrafo.

Beleza, mas como vamos fazer isso?

Se nós dividirmos a derivada do vetor pelo seu módulo, no ponto indicado, obteremos um vetor unitário que também é tangente ao hodógrafo, concorda?

vec u = (( - 2 , 0 , 0 ))/(sqrt(( - 2 )^2 + 0^2 + 0^2)) = ((- 2 , 0 , 0))/(2) = (- 1 , 0 , 0)

Como ele nos pede DOIS vetores, a maneira mais fácil é usar este que encontramos, e o segundo sendo o mesmo vetor, multiplicado por - 1 . Isso vai alterar apenas o sentido do segundo vetor, mas ele não vai deixar de ser unitário. Então, finalmente, temos:

+- (- 1 , 0 , 0)

Resposta

+- (- 1 , 0 , 0)