Passo 1
Aqui a questão nos pede para determinar DOIS vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função no ponto .
Pera... QUE!??
Calma que vai dar certo!
Primeiro vamos achar a bendita derivada de , já que nosso mantra é: quando falamos de vetor tangente, falamos da derivada!!!
Vamos separar as componentes de , derivar uma a uma e juntar tudo, para ficar mais fácil:
Passo 2
Agora que já temos nossa derivada, vamos calcular o valor de no pronto . Para isso, igualamos ao ponto , ou seja:
Vamos pegar a primeira equação e calcular o valor de , depois substituir nas outras duas e ver se o mesmo satisfaz as equações:
Vamos adotar para facilitar a nossa análise.
Substituindo em .
Em .
Logo, nosso valor d será realmente , já que ele satisfaz todas as equações.
Passo 3
Tá acabando...
Vamos substituir o valor de encontrado na nossa derivada:
Passo 4
Quaaaase lá!
Agora basta acharmos os dois vetores unitários tangentes ao nosso hodógrafo.
Beleza, mas como vamos fazer isso?
Se nós dividirmos a derivada do vetor pelo seu módulo, no ponto indicado, obteremos um vetor unitário que também é tangente ao hodógrafo, concorda?
Como ele nos pede DOIS vetores, a maneira mais fácil é usar este que encontramos, e o segundo sendo o mesmo vetor, multiplicado por . Isso vai alterar apenas o sentido do segundo vetor, mas ele não vai deixar de ser unitário. Então, finalmente, temos: