h → t = (1/2)t, raiz(t + 1), t + 1; P(1, raiz(3), 3)

Passo 1

Aqui a questão nos pede para determinar DOIS vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função vec h ( t ) no ponto P .

Pera... QUE!??

Calma que vai dar certo!

Primeiro vamos achar a bendita derivada de vec h ( t ) , já que nosso mantra é: quando falamos de vetor tangente, falamos da derivada!!!

Vamos separar as componentes de vec h (t) , derivar uma a uma e juntar tudo, para ficar mais fácil:

x (t) = (1)/(2) t -> x^' (t) = (1)/(2)

y (t) = sqrt(t + 1) -> y^' (t) = (1)/(2) (t + 1)^(- (1)/(2))

z (t) = t + 1 -> z^' (t) = 1

vec h^' (t) = ((1)/(2) , (1)/(2) (t + 1)^(- (1)/(2)) , 1)

Passo 2

Agora que já temos nossa derivada, vamos calcular o valor de t no pronto P . Para isso, igualamos vec h ( t ) ao ponto P , ou seja:

{ (1)/(2) t = 1 sqrt(t + 1) = sqrt(3) t + 1 = 3

Vamos pegar a primeira equação e calcular o valor de t , depois substituir nas outras duas e ver se o mesmo t satisfaz as equações:

(1)/(2) t = 1

t = 2

Substituindo em y (t) -> y (2) = sqrt(2 + 1) = sqrt(3) .

Em z (t) -> z (2) = 2 + 1 = 3 .

Logo, t = 2 , já que ele satisfaz todas as equações.

Passo 3

Tá acabando...

Vamos substituir o valor de t encontrado na nossa derivada:

vec h^' (2) = ((1)/(2) , (1)/(2) (2 + 1)^(- (1)/(2)) , 1) = ((1)/(2) , (1)/(2 sqrt(3)) , 1)

Passo 4

Quaaaase lá!

Agora basta acharmos os dois vetores unitários tangentes ao nosso hodógrafo.

Beleza, mas como vamos fazer isso?

Se nós dividirmos a derivada do vetor pelo seu módulo, no ponto indicado, obteremos um vetor unitário que também é tangente ao hodógrafo, concorda?

vec u = (((1)/(2) , (1)/(2 sqrt(3)) , 1))/(sqrt(((1)/(2))^2 + ((1)/(2 sqrt(3)))^2 + 1^2)) = (((1)/(2) , (1)/(2 sqrt(3)) , 1))/(sqrt((1)/(4) + (1)/(12) + 1)) = (sqrt(3))/(2) * ((1)/(2) , (1)/(2 sqrt(3)) , 1) = ((sqrt(3))/(4) , (1)/(4) , (sqrt(3))/(2))

Como ele nos pede DOIS vetores, a maneira mais fácil é usar este que encontramos, e o segundo sendo o mesmo vetor, multiplicado por - 1 . Isso vai alterar apenas o sentido do segundo vetor, mas ele não vai deixar de ser unitário. Então, finalmente, temos:

+- ((sqrt(3))/(4) , (1)/(4) , (sqrt(3))/(2))

Resposta

+- ((sqrt(3))/(4) , (1)/(4) , (sqrt(3))/(2))