r(t) = e^t * i + e^(-2t) * j; t = ln(2)

Passo 1

Vamos determinar nosso vetor velocidade de vec r ( t ) para qualquer instante de t . Para isso, vamos fazer a derivada primeira do nosso vetor:

x (t) = e^t -> x^' (t) = e^t

y (t) = e^(- 2 t) -> y^' (t) = - 2 e^(- 2 t)

vec v (t) = vec r^' (t) = e^t vec i - 2 e^(- 2 t) vec j AA t

Passo 2

Agora iremos determinar o vetor aceleração de vec r ( t ) para qualquer instante t .

É só fazer a derivada segunda do nosso vetor, ou seja, derivar vec v ( t ) .

x^' (t) = e^t -> x^(' ') (t) = e^t

y^' (t) = - 2 e^(- 2 t) -> y^(' ') (t) = 4 e^(- 2 t)

vec a (t) = vec r^(' ') (t) = e^t vec i + 4 e^(- 2 t) vec j AA t

Passo 3

Vamos encontrar o módulo de vec v ( t ) no instante t que foi dado.

Para isso, primeiro vamos substituir o valor de t no vetor vec v ( t ) e depois vamos calcular o módulo do vetor. Bem tranquilo, né?

vec v (ln (2)) = e^(l n 2) vec i - 2 * e^(- 2 * ln (2)) vec j

vec v (ln (2)) = 2 vec i - 2 * e^(ln (2^(- 2))) vec j

vec v (ln (2)) = 2 vec i - 2 * 2^(- 2) vec j

vec v (ln (2)) = 2 vec i - (2)/(2^2) vec j

Logo,

vec v (ln (2)) = 2 vec i - (1)/(2) vec j

E seu módulo será:

|vec v (ln (2))| = sqrt(2 ² + (- (1)/(2))^2) = sqrt(4 + (1)/(4)) = sqrt((17)/(4)) = (sqrt(17))/(2)

Passo 4

Repetindo o mesmo procedimento para encontrar o módulo de vec a ( t ) no instante t :

vec a (ln (2)) = e^(ln (2)) vec i + 4 * e^(- 2 ln (2)) vec j

vec a (ln (2)) = 2 vec i + 4 * e^(ln (2^(- 2))) vec j

vec a (ln (2)) = 2 vec i + 4 * 2^(- 2) vec j

vec a (ln (2)) = 2 vec i + 4 * (1)/(2 ²) vec j

Logo,

vec a (ln (2)) = 2 vec i + vec j

Calculando nosso módulo:

|vec a (ln (2))| = sqrt(2 ² + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

Resposta

Para qualquer instante t , temos:

vec v (t) = e^t vec i - 2 e^(- 2 t) vec j

vec a (t) = e^t vec i + 4 e^(- 2 t) vec j

Para t = ln (2) , o módulo é:

|vec v (ln (2))| = (sqrt(17))/(2)

|vec a (ln (2))| = sqrt(5)