r(t) = (t * cos(t), t * sen(t), t); P(0, π/2, π/2)

Passo 1

Aqui a questão nos pede para determinar DOIS vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função vec r ( t ) no ponto P .

Pera... QUE!??

Calma que vai dar certo!

Primeiro vamos achar a bendita derivada de vec r ( t ) , já que nosso mantra é: quando falamos de vetor tangente, falamos da derivada!!!

Vamos separar as componentes de vec r (t) , derivar uma a uma e juntar tudo, para ficar mais fácil:

x (t) = t c o s (t) -> x^' (t) = t^' (c o s c o s (t)) + t c o s^' (t) = c o s c o s (t) - t s e n ( t )

y (t) = t s e n (t) -> y^' (t) = t^' (s e n (t)) + t s e n^' (t) = s e n (t) + t c o s ( t )

z (t) = t -> z^' (t) = 1

vec r^' (t) = (c o s c o s (t) - t s e n (t) , s e n (t) + t c o s ( t ) , 1)

Passo 2

Agora que já temos nossa derivada, vamos calcular o valor de t no pronto P . Para isso, igualamos vec r ( t ) ao ponto P , ou seja:

{ t c o s ( t ) = 0 t s e n ( t ) = (pi)/(2) t = (pi)/(2)

Vamos pegar a terceira equação e calcular o valor de t , depois substituir nas outras duas e ver se o mesmo t satisfaz as equações:

t = (pi)/(2)

Substituindo em y (t) -> y ((pi)/(2)) = (pi)/(2) s e n ((pi)/(2)) = (pi)/(2) * 1 = (pi)/(2) .

Em x (t) -> x ((pi)/(2)) = (pi)/(2) c o s c o s ((pi)/(2)) = (pi)/(2) * 0 = 0 .

Logo, t = (pi)/(2) , já que ele satisfaz todas as equações.

Passo 3

Tá acabando...

Vamos substituir o valor de t encontrado na nossa derivada:

vec r^' ((pi)/(2)) = (c o s c o s ((pi)/(2)) - (pi)/(2) s e n ((pi)/(2)) , s e n ((pi)/(2)) + (pi)/(2) c o s c o s ((pi)/(2)) , 1) = (- (pi)/(2) , 1 , 1)

Passo 4

Quaaaase lá!

Agora basta acharmos os dois vetores unitários tangentes ao nosso hodógrafo.

Beleza, mas como vamos fazer isso?

Se nós dividirmos a derivada do vetor pelo seu módulo, no ponto indicado, obteremos um vetor unitário que também é tangente ao hodógrafo, concorda?

vec u = ((- (pi)/(2) , 1 , 1))/(sqrt((- (pi)/(2))^2 + 1^2 + 1^2)) = ((- (pi)/(2) , 1 , 1))/(sqrt((pi^2)/(4) + 1 + 1)) = (2)/(sqrt(pi^2 + 8)) * (- (pi)/(2) , 1 , 1) = (- (pi)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)))

Como ele nos pede DOIS vetores, a maneira mais fácil é usar este que encontramos, e o segundo sendo o mesmo vetor, multiplicado por - 1 . Isso vai alterar apenas o sentido do segundo vetor, mas ele não vai deixar de ser unitário. Então, finalmente, temos:

+- (- (pi)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)))

Resposta

+- (- (pi)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)) , (2)/(sqrt(pi^2 + 8)))