r(t) = cosh(t) i + 3 sinh(t) j; t = 0

Passo 1

Antes de tudo, vamos revisar alguns itens que serão úteis para a resolução da questão.

São apenas 4 carinhas que devemos ter guardados na cabeça para prosseguir!

cosh (t) = (e^t + e^(- t))/(2)

s e n h (t) = (e^t - e^(- t))/(2)

c o s h^' (t) = s e n h ( t )

s e n h^' (t) = c o s h ( t )

Prontinho!

Passo 2

Vamos determinar nosso vetor velocidade de vec r ( t ) para qualquer instante de t . Para isso, vamos fazer a derivada primeira do nosso vetor:

x (t) = c o s h ( t ) -> x^' (t) = s e n h ( t )

y (t) = 3 s e n h ( t ) -> y^' (t) = 3 c o s h ( t )

vec v (t) = vec r^' (t) = s e n h (t) vec i + 3 c o s h ( t ) vec j AA t

Passo 3

Agora iremos determinar o vetor aceleração de vec r ( t ) para qualquer instante t .

É só fazer a derivada segunda do nosso vetor, ou seja, derivar vec v ( t ) .

x^' (t) = s e n h ( t ) -> x^(' ') (t) = c o s h ( t )

y^' (t) = 3 c o s h ( t ) -> y^(' ') (t) = 3 s e n h ( t )

vec a (t) = vec r^(' ') (t) = c o s h ( t ) vec i + 3 s e n h ( t ) vec j AA t

Passo 4

Vamos encontrar o módulo de vec v ( t ) no instante t que foi dado.

Para isso, primeiro vamos substituir o valor de t no vetor vec v ( t ) e depois vamos calcular o módulo do vetor. Bem tranquilo, né?

vec v (0) = s e n h (0) vec i + 3 c o s h ( 0 ) vec j

E vamos usar nossos lembretes do Passo 1:

vec v (0) = (e^0 - e^(- 0))/(2) vec i + (3 (e^0 + e^(- 0)))/(2) vec j

vec v (0) = (1 - 1)/(2) vec i + (3 (1 + 1))/(2) vec j

vec v (0) = (0)/(2) vec i + (3 (2))/(2) vec j

Logo,

vec v (0) = 0 vec i + 3 vec j

E seu módulo será:

|vec v (0)| = sqrt(0 ² + (3)^2) = sqrt(9) = 3

Passo 5

Repetindo o mesmo procedimento para encontrar o módulo de vec a ( t ) no instante t :

vec a (0) = c o s h ( 0 ) vec i + 3 s e n h ( 0 ) vec j

Usando novamente o nosso lembrete:

vec a (0) = (e^0 + e^(- 0))/(2) vec i + 3 * (e^0 - e^(- 0))/(2) vec j

vec a (0) = (1 + 1)/(2) vec i + 3 * (1 - 1)/(2) vec j

vec a (0) = (2)/(2) vec i + 3 * ((0)/(2)) vec j

Logo,

vec a (0) = vec i + 0 vec j

Calculando nosso módulo:

|vec a (0)| = sqrt(1 ² + 0^2) = sqrt(1) = 1

Resposta

Para qualquer instante t , temos:

vec v (t) = s e n h (t) vec i + 3 c o s h ( t ) vec j

vec a (t) = c o s h ( t ) vec i + 3 s e n h ( t ) vec j

Para t = 0 , o módulo é:

|vec v (0)| = 3

|vec a (0)| = 1