x(t) = 1/2 * (t - 1); y(t) = 1/4 * (t^2 - 2t + 1)

Passo 1

  1. Escrever vec f ( t ) :
  2. Observe que os valores das componentes x ( t ) e y ( t ) já foram dados. Basta reescrever:

    vec f (t) = x (t) vec i + y (t) vec j

    Logo,

    vec f (t) = (1)/(2) (t - 1) vec i + (1)/(4) (t^2 - 2 t + 1) vec j

    Passo 2

  3. Vamos determinar nosso vetor velocidade e aceleração de vec f ( t ) .
  4. Para o cálculo da velocidade, vamos fazer a derivada primeira do nosso vetor:

    x (t) = (1)/(2) ( t - 1 ) -> x^' (t) = (1)/(2)

    y (t) = (1)/(4) (t^2 - 2 t + 1) -> y^' (t) = (1)/(4) (2 t - 2) = (1)/(2) ( t - 1 )

    Logo,

    vec v (t) = vec f^' (t) = (1)/(2) vec i + (1)/(2) ( t - 1 ) vec j

    Para o cálculo da aceleração, vamos fazer a derivada segunda do nosso vetor:

    x^' (t) = (1)/(2) -> x^(' ') (t) = 0

    y^' (t) = (1)/(2) (t - 1) -> y^(' ') (t) = (1)/(2)

    Logo,

    vec a (t) = f^(' ') (t) = 0 vec i + (1)/(2) vec j

    Passo 3

  5. No instante t = 5 temos:

- Para a trajetória da partícula:

O esboço fica

Em t = 5 :

vec f (5) = (1)/(2) (5 - 1) vec i + (1)/(4) (5^2 - 2 * 5 + 1) vec j

vec f (5) = (4)/(2) vec i + (16)/(4) vec j

Logo,

vec f (5) = 2 vec i + 4 vec j

- Para a velocidade:

O esboço fica

Em t = 5 :

vec v (5) = (1)/(2) vec i + (5 - 1)/(2) vec j

Logo,

vec v (5) = (1)/(2) vec i + 2 vec j

- Para a aceleração:

O esboço fica

Em t = 5 :

vec a (5) = 0 vec i + (1)/(2) vec j

Logo,

vec a (5) = (1)/(2) vec j

Resposta

a)

vec f (t) = (1)/(2) (t - 1) vec i + (1)/(4) (t^2 - 2 t + 1) vec j

b)

vec v (t) = (1)/(2) vec i + (1)/(2) ( t - 1 ) vec j

vec a (t) = (1)/(2) vec j

c)

vec f (5) = 2 vec i + 4 vec j

vec v (5) = (1)/(2) vec i + 2 vec j

vec a (5) = (1)/(2) vec j

Com os esboços nos passos acima.