x(t) = 4 * cos(t)

y(t) = 4 * sen(t)

z(t) = 2

0 ≤ t ≤ 2 * pi

Passo 1

Fala, galeeera!

Vamos esboçar o gráfico dessa curva para 0 <= t <= 2 pi . Essa parte é fácil, né?

Vou montar uma tabelinha para ajudar a gente:

Agora é só traçar os pontos e esboçar nosso gráfico:

Passo 2

Nessa parte ele tá pedindo pra gente determinar a equação CARTESIANA da curva.

Bem, já nos foi dada a equação paramétrica da nossa curva.

Olhando para elas, já conseguimos notar que parece muuuito com as equações paramétricas de uma circunferência, certo?

E também já sabemos que a equação cartesiana de uma circunferência é dada por:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r ²

Onde, r = raio, x_0 e y_0 são as coordenadas do centro da circunferência.

E temos que, em coordenadas polares:

{[[x,-,x_0,=,r,c,o,s,(t)],[y,-,y_0,=,r,s,e,n,(t)]])

Relembrando tudo isso, podemos seguir com a nossa resolução!

{[[x,-,x_0,=,r,c,o,s,(t),=,4,cos (t)],[y,-,y_0,=,r,s,e,n,(t),=,4,s,e,n,(t)]])

Assim, conseguimos notar que x_0 = 0 e y_0 = 0 , ou seja, seu centro coincide com a origem.

Além disso, identificamos o nosso r = 2 .

Logo,

{[[x,-,0,=,4,cos (t),->,x,=,4,cos (t)],[y,-,0,=,4,s,e,n,(t),->,y,=,4,s,e,n,(t)]])

Como já sabemos como é nossa equação cartesiana da circunferência, é só substituir os valores que encontramos!

(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4 ²

Logo,

x^2 + y^2 = 16

Masss, temos uma informação muito importante que temos que considerar!

z = 2

Ou seja, estamos trabalhando no espaço (3 dimensões)!

Então a nossa curva é o cilindro x^2 + y^2 = 16 interceptado pelo plano z = 2 .

{[[x^2,+,y^2,=,16],[z,=,2]])

Essa é a nossa equação cartesiana.

Resposta

Esboço do gráfico descrito nos passos acima.

A equação cartesiana é:

{[[x^2,+,y^2,=,16],[z,=,2]])