2^2 * x^2 + 2^2 * y^2 + 5 * x + 2 * y - 3 = 0

Passo 1

Pessoal, primeiro queremos identificar qual curva é essa.

A primeira coisa a ser feita é completar quadrados para ver como a nossa equação fica. Assim, facilita muuuuuito na identificação da curva. Bora lá?!

Agrupando x e y e passando a constante para o lado direito da equação:

(2 x^2 + 5 x) + (2 y^2 + 2 y) = 3

Completando quadrados:

- Lembrando que: (x + k)^2 = x^2 + 2 k x + k ²

Antes de completar os quadrados, vamos multiplicar os dois lados da nossa equação por (1)/(2) para facilitar a análise:

(x^2 + (5)/(2) x) + (y^2 + y) = (3)/(2)

Usando esta relação, sabemos que:

(x + (5)/(4))^2 = x^2 + (5)/(2) x + (25)/(16)

(y + (1)/(2))^2 = y^2 + y + (1)/(4)

Logo:

(x + (5)/(4))^2 + (y + (1)/(2))^2 = (3)/(2) + (25)/(16) + (1)/(4)

(x + (5)/(4))^2 + (y + (1)/(2))^2 = (53)/(16)

Essa equação se parece muuuito com a equação da circunferência, né? Olha só:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r ²

É isso mesmo!

Temos a equação da circunferência com raio r = (sqrt(53))/(4) e centro (x_0 , y_0) = (- (5)/(4) , - (1)/(2)) .

Passo 2

Agora vamos parametrizar a nossa circunferência.

A equação vetorial da circunferência é dada por:

vec r (t) = (x_0 + r c o s (t)) vec i + (y_0 + r s e n (t)) vec j , 0 <= t <= 2 pi

Fazendo as substituições:

vec r (t) = (- (5)/(4) + (sqrt(53))/(4) cos (t)) vec i + (- (1)/(2) + (sqrt(53))/(4) s e n (t)) vec j

E nossa parametrização fica com essa carinha aqui:

{[[x,=,-,(5)/(4),+,(sqrt(53))/(4),cos (t)],[y,=,-,(1)/(2),+,(sqrt(53))/(4),s,e,n,(t)]])

Sem mistério!

Passo 3

Finalmente (!!!!!) vamos esboçar nosso gráfico. Para isso, devemos ter em mente que 0 <= t <= 2 pi . A gente pode montar nossa tabelinha pra ajudar no esboço, dentro deste intervalo, beleza?

Agora basta traçar os pontos e esboçar nosso gráfico:

Resposta

A curva é uma circunferência.

Sua parametrização é dada por:

{[[x,=,-,(5)/(4),+,(sqrt(53))/(4),cos (t)],[y,=,-,(1)/(2),+,(sqrt(53))/(4),s,e,n,(t)]])

E seu esboço é mostrado nos passos acima.