2^2 * x^2 + 5^2 * y^2 - 6 * x - 2 * y + 4 = 0

Passo 1

Pessoal, primeiro queremos identificar qual curva é essa.

A primeira coisa a ser feita é completar quadrados para ver como a nossa equação fica. Assim, facilita muuuuuito na identificação da curva. Bora lá?!

Agrupando x e y e passando a constante para o lado direito da equação:

(2 x^2 - 6 x) + (5 y ² - 2 y) = - 4

Completando quadrados:

- Lembrando que: (x + k)^2 = x^2 + 2 k x + k ²

Antes de completar os quadrados, vamos colocar o 2 e o 5 em evidência para facilitar a análise:

2 (x^2 - 3 x) + 5 (y^2 - (2)/(5) y) = - 4

Usando esta relação, sabemos que:

2 (x - (3)/(2))^2 = 2 (x^2 - 3 x + (9)/(4))

5 (y - (1)/(5))^2 = 5 (y^2 - (2)/(5) y + (1)/(25))

Logo:

2 (x - (3)/(2))^2 + 5 (y - (1)/(5))^2 = - 4 + (9)/(2) + (1)/(5)

2 (x - (3)/(2))^2 + 5 (y - (1)/(5))^2 = (7)/(10)

Arrumando mais um pouquinho...

((x - (3)/(2))^2)/((7)/(20)) + ((y - (1)/(5))^2)/((7)/(50)) = 1

Essa equação se parece muuuito com a equação da elipse, né? Dá uma olhada:

((x - x_0) ²)/(a ²) + ((y - y_0)^2)/(b ²) = 1

É isso mesmo!

Temos a equação da elipse com semieixos a = sqrt((7)/(20)) e b = sqrt((7)/(50)) e centro (x_0 , y_0) = ((3)/(2) , (1)/(5)) .

Passo 2

Agora vamos parametrizar a nossa elipse.

A equação vetorial da elipse é dada por:

vec r (t) = (x_0 + a c o s (t)) vec i + (y_0 + b s e n (t)) vec j , 0 <= t <= 2 pi

Fazendo as substituições:

vec r (t) = ((3)/(2) + sqrt((7)/(20)) cos (t)) vec i + ((1)/(5) + sqrt((7)/(50)) s e n (t)) vec j

E nossa parametrização fica com essa carinha aqui:

{[[x,=,(3)/(2),+,sqrt((7)/(20)),cos (t)],[y,=,(1)/(5),+,sqrt((7)/(50)),s,e,n,(t)]])

Sem mistério!

Passo 3

Finalmente (!!!!!) vamos esboçar nosso gráfico. Para isso, devemos ter em mente que 0 <= t <= 2 pi . A gente pode montar nossa tabelinha pra ajudar no esboço, dentro deste intervalo, beleza?

Agora basta traçar os pontos e esboçar nosso gráfico:

Resposta

A curva é uma elipse.

Sua parametrização é dada por:

{[[x,=,(3)/(2),+,sqrt((7)/(20)),cos (t)],[y,=,(1)/(5),+,sqrt((7)/(50)),s,e,n,(t)]])

E seu esboço é mostrado nos passos acima.