x^2 + y^2 + 5y - 2 = 0

Passo 1

Pessoal, primeiro queremos encontrar o centro e o raio desta circunferência. Vamos começar ordenando na nossa forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r ²

Onde x_0 e y_0 são as coordenadas da nossa origem e r é o nosso raio.

Vamos aos poucos!

Agrupando x e y e passando a constante para o lado direito da equação:

(x^2) + (y^2 + 5 y) = 2

Completando quadrados:

- Lembrando que: (x + k)^2 = x^2 + 2 k x + k ²

Usando esta relação, sabemos que:

(y + (5)/(2))^2 = y^2 + 5 y + (25)/(4)

Logo:

(x - 0)^2 + (y + (5)/(2))^2 = 2 + (25)/(4)

(x - 0)^2 + (y + (5)/(2))^2 = (33)/(4)

E temos nossa equação da circunferência!

Passo 2

Com a nossa equação da circunferência reorganizada, podemos ver facilmente os nossos pontos de centro e raio. Vamos lá?

Nosso centro será:

(x_0 , y_0) = (0 , - (5)/(2))

E nosso raio:

r^2 = (33)/(4) -> r = sqrt((33)/(4)) = (sqrt(33))/(2)

Passo 3

Tá quase acabando!

Vamos escrever nossa equação vetorial e matar a questão!

A equação vetorial da circunferência é dada por:

vec r (t) = (x_0 + r c o s (t)) vec i + (y_0 + r s e n (t)) vec j , 0 <= t <= 2 pi

Fazendo as substituições:

vec r (t) = ((sqrt(33))/(2) cos (t)) vec i + (- (5)/(2) + (sqrt(33))/(2) s e n (t)) vec j

Sem mistério!

Resposta

Centro:

(x_0 , y_0) = (0 , - (5)/(2))

Raio:

r = (sqrt(33))/(2)

Equação vetorial:

vec r (t) = ((sqrt(33))/(2) cos (t)) vec i + (- (5)/(2) + (sqrt(33))/(2) s e n (t)) vec j