x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0

Passo 1

Pessoal, primeiro queremos encontrar o centro e o raio desta circunferência. Vamos começar ordenando na nossa forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r ²

Onde x_0 e y_0 são as coordenadas da nossa origem e r é o nosso raio.

Vamos aos poucos!

Agrupando x e y :

(x^2 - 6 x) + (y^2 + 8 y) = 0

Completando quadrados:

- Lembrando que: (x + k)^2 = x^2 + 2 k x + k ²

Usando esta relação, sabemos que:

(x - 3)^2 = x^2 - 6 x + 9

(y + 4)^2 = y^2 + 8 y + 16

Logo:

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25

E temos nossa equação da circunferência!

Passo 2

Com a nossa equação da circunferência reorganizada, podemos ver facilmente os nossos pontos de centro e raio. Vamos lá?

Nosso centro será:

(x_0 , y_0) = (3 , - 4)

E nosso raio:

r^2 = 25 -> r = sqrt(25) = 5

Passo 3

Tá quase acabando!

Vamos escrever nossa equação vetorial e matar a questão!

A equação vetorial da circunferência é dada por:

vec r (t) = (x_0 + r c o s (t)) vec i + (y_0 + r s e n (t)) vec j , 0 <= t <= 2 pi

Fazendo as substituições:

vec r (t) = (3 + 5 cos (t)) vec i + (- 4 + 5 s e n (t)) vec j

Sem mistério!

Resposta

Centro:

(x_0 , y_0) = (3 , - 4)

Raio:

r = 5

Equação vetorial:

vec r (t) = (3 + 5 cos (t)) vec i + (- 4 + 5 s e n (t)) vec j